宇智波鼬 寫到:令n為正整數。試証在n或3n的十進制之各位數字中,至少會出現一個數字1、2或9。
若n有1或2或9
則命題成立
所以只需討論n個首位數為3,4,5,6,7,8的情況
設k為正整數
a為不大於10^k的正整數(包括0)
首位數為3的數為(3*10^k+a)
首位數為4的數為(4*10^k+a)
首位數為5的數為(5*10^k+a)
首位數為6的數為(6*10^k+a)
首位數為7的數為(7*10^k+a)
首位數為8的數為(8*10^k+a)
3(3*10^k)<=3(3*10^k+a)<3(4*10^k)
9*10^k<=3(3*10^k+a)<12*10^k
所以當n的首位數為3時,3n的首位數不是9,就是1
3(4*10^k)<=3(4*10^k+a)<3(5*10^k)
12*10^k<=3(4*10^k+a)<15*10^k
所以當n的首位數為4時,3n的首位數必為1
3(5*10^k)<=3(5*10^k+a)<3(6*10^k)
15*10^k<=3(5*10^k+a)<18*10^k
所以當n的首位數為5時,3n的首位數必為1
3(6*10^k)<=3(6*10^k+a)<3(7*10^k)
18*10^k<=3(6*10^k+a)<21*10^k
所以當n的首位數為6時,3n的首位數不是1,就是2
3(7*10^k)<=3(7*10^k+a)<3(8*10^k)
21*10^k<=3(7*10^k+a)<24*10^k
所以當n的首位數為7時,3n的首位數必為2
3(8*10^k)<=3(8*10^k+a)<3(9*10^k)
24*10^k<=3(8*10^k+a)<27*10^k
所以當n的首位數為8時,3n的首位數必為2
綜合上述情況
命題成立