由 --- 於 星期五 五月 16, 2003 1:29 pm
(a)任給一個三角形 ABC, 由此三角形的三邊 AB,BC,CA 分別作頂角為 120 度的等腰三角形 ABD, BCE, CAF, 試證明三角形 DEF 為正三角形.
設A為原點, ABC在複數平面上
令A=0, B=b, C=a. (a,b為複數)
令w=cos(pi/6)+isin(pi/6); w^3=i; w^6=-1
let m=sqrt(3); w=m/2+i/2; ww=1/2+im/2; 1/w=m/2-i/2
D=b/m/w
E=b+(a-b)/m/w
F=a*w/m
let x=a/b
[(E-D)/(F-D)]*ww
=(ww+(x-2)w/m)/(xw/m-1/m/w)
=(ww-2w/m+xw/m)/(xw/m-1/m/w)
=(1/2+im/2- 1-i/m +xw/m)/(xw/m-1/2+i/2/m)
=1
故DEF 為正三角形
這是由此三角形的三邊 AB,BC,CA 分別向外作頂角為 120 度的等腰三角形 ABD, BCE, CAF; DEF 為正三角形