E在△ABC外,使AB=AE,∠BAE=20°,∠CAE=60°。連AE,BE及CE。
AB=AE (已知)
AB=AC (已知)
∴AE=AC
∴∠AEC=∠ACE (等腰三角形底角)
∠CAE=60° (已知)
∠AEC+∠ACE=180°-∠CAE (三角形內角和)
2∠AEC=180°-60°=120°
∴∠AEC=∠ACE=60°
∴△AEC是一等邊三角形
∴AC=CE=EA (等邊三角形性質)
∠ABC=∠ACB (等腰三角形底角)
∠CAB=80° (已知)
∠ABC+∠ACB=180°-∠CAB (三角形內角和)
2∠ABC=180°-80°=100°
∴∠ABC=∠ACB=50°
∠BCE=∠ACE-∠ACB
∴∠BCE=60°-50°=10°
∴BP//EC (錯角相等)
∠ABE=∠AEB (等腰三角形底角)
∠EAB=80° (已知)
∠ABE+∠AEB=180°-∠EAB (三角形內角和)
2∠ABE=180°-20°=160°
∴∠ABE=∠AEB=80°
∠CBE=∠ABE-∠ABC
∴∠CBE=80°-50°=30°
∴BE//PC (錯角相等)
∵BP//EC及BE//PC (已證)
∴BPCE是一平行四邊形 (根據定義)
∴BP=EC (平行四邊形對邊)
∴AB=AC=CE=EA=BP
∴∠BAP=∠BPA (等腰三角形底角)
∠ABP=∠ABC-∠PBC
∴∠ABP=50°-10°=40°
∠BAP+∠BPA=180°-∠ABP (三角形內角和)
2∠BAP=180°-40°-140°
∴∠BAP=∠BPA=70°
∠PAC=∠BAC-∠BAP
∴∠PAC=80°-70°=10°