糊塗迷蛋 寫到:將千元鈔票的6位數字重新排列(由大到小)與原數字相減再檢去7所的數字不斷相加最後得2請問為什麼呀
EX 原數字:154111
541111
- 154111
=387000
- 7
=386993=38 =11 =2
3+8+6+9+9+3=38 3+8=11 1+1=2
最後降這6位數相加會等於2
首先,這一題將減7的部分改成加2會更圓滿.
現在來解這題:
第一部分:兩個六位數相減.
在第一個相減的部分,我們知道相減的結果一定是9的倍數.
為什麼?我們事實上作的事情是掉換六個數字的位數再相減,不是嗎?
我們取任何一個數字a1好了;假設原來他在個位數,後來被調整到百位數.
100xa1 - a1 = 99xa1
是一個9的倍數.
再舉另一個數字a5好了;假設原來他在萬位數,後來被調整到十位數.
10xa5 - 10000xa5 = -9990xa5
仍是9的倍數.
也就是說,調動任一位數字的位數再予以相減,會是以下的答案:
10yxax - 10xxax = (10y-10x)xax
該答案必為9的倍數.
又由於我們把最大的數字調到最前面,次大的調到第二位...
所以調整後的新數字絕不會小於原數字,故相減後"極可能"大於0.註一
第二部分:再減去7.
因為大於0又為9的倍數,所以該數減7之後為:
(9xm)-7 = (9xn)+2, n≥0
故減7之後的答案是一個9的倍數加2.
9的倍數有一個性質,那就是所有數字相加之後能被9除盡.
故(9xn)的每位數字相加的和,是一個9的倍數;
而(9xn)+2的每位數字相加的和,仍是一個9的倍數加2.
9=10-1, 9xn=10xn-1xn
所以說若增加2個9;則十位數字增加2,個位數字減少2.
若增加6個9;則十位數字增加6,個位數字減少6.
各位數相加的總合仍然不變.
一個9的倍數加2,可以寫成:
(9xn)+2=(10xn-1xn)+2
所以該數的各位數相加為2.
故得証.
註一:
由於我們把最大的數字調到最前面,次大的調到第二位...
所以調整後的新數字絕不會小於原數字,故相減後"極可能"大於0.
但是若六位數字都相同(333333),則兩數相減為0.
減去7之後仍然是(9xn)+2,但是此時n=-1;
後面的性質就不對了;所以題目減7的部分若是改成加2則會更完美.
但是趣味性就減少了.