設正實數a,b滿足a^3+b^3+3ab=1
試求[a+(1/a)]^3+[b+(1/b)]^3之最小值
a^3+b^3+(-1)^3-3ab(-1)=0
(a+b-1)(a^2+b^2+1-ab+a+b)=0
a+b=1或a^2+b^2+1-ab+a+b=0(不合)
(因為a^2+b^2+1-ab+a+b=(a-b)^2+(a+1)(b+1)≠0)
考慮函數y=f(x)=(x+1/x)^3
因為y=f(x)在區間(0,1)是凸函數(凹向上)
所以由Jensen不等式
若0<a,b<1,a+b=1
則有[f(a)+f(b)]/2≧f[(a+b)/2]
(1/2)*[(a+1/a)^3+(b+1/b)^3]≧(2+1/2)^3
[(a+1/a)^3+(b+1/b)^3]≧125/4
等號成立時,取a=b=1/2
最小值125/4