f(x)=x3+ax2+bx+c,其中b小於0且ab=9c
首先 , x3前面是正的表示其函數圖形可能是下列兩種其中之一
不是有三個實根就是一實根兩虛根
f'(x)=3x2+2ax+b=0
x=[-a+√(a2-3b)]/3 或[-a-√(a2-3b)]/3 , 由於b小於0 , √(a2-3b)為實數
圖形有兩個極值
我們關心的是右邊的 , 也就是當 x=[-a+√(a2-3b)]/3時 , 若f(x)為正則為一實二虛 , 若f(x)為負則為三實根
將x=[-a+√(a2-3b)]/3代入f(x)=x3+ax2+bx+c
巴拉巴拉整理一下最後剩下:
f(x)=(2/27)(a2-3b)[a-√(a2-3b)]
(a2-3b)大於0 , 且(a2-3b)大於a2 , 所以√(a2-3b)大於a , 所以a-√(a2-3b)小於0
也就是f(x)小於0
所以f(x)函數圖形與x軸有三個交點 , 也就是有三個實根