由 benice 於 星期日 六月 17, 2018 12:26 pm
解法一:
此題可將二次多項式空間類比為 R³,並將 1, x, x² 視為空間向量 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1),
則 U 相當於 X-Y 平面,U 的正交補餘相當於 Z 軸。因此 {x²} 為 U 的正交補餘的一個基底。
解法二:
設 a + bx + cx² 為 U 的正交補餘中的任意向量,
則
<a + bx + cx², 1> = 0 且 <a + bx + cx², x> = 0。
依題目所給的內積定義
<a + bx + cx², 1> = a*1 + b*0 + c*0 = a,
<a + bx + cx², x> = a*0 + b*1 + c*0 = b,
所以 a = 0 且 b = 0。
故 U 的正交補餘包含於 {cx²∣c 為任意實數}。
由於子空間的正交補餘也是子空間,所以 U 的正交補餘 = {0} 或 {cx²∣c 為任意實數}。
因為 U 的正交補餘的維度 = 二次多項式空間的維度 - U 的維度 = 3 - 2 = 1,
所以 U 的正交補餘 = {cx²∣c 為任意實數}。
因此 {x²} 為 U 的正交補餘的一個基底。 ■
紅字部分請參考線代教科書上的相關定理,例如:
Linear Algebra, 3e (Serge Lang, 1987, corrected printing 2004) --- Theorem 2.3 (p.106)