由 galaxylee 於 星期三 八月 24, 2005 11:10 pm
1.試確定一切有理數r,使得關於x的方程rx^2+(r+2)x+(r-1)=0有根且只有整數根
sol:
若r=0,則2x-1=0,x=1/2不是整數,不可能。
若r≠0,方程式是二次式
令兩個整數根為a,b,由根與係數關係
a+b=-(r+2)/r = -1-(2/r)........(1)
ab=(r-1)/r = 1-(1/r).............(2)
(2)*2-(1)消去r得2ab-a-b=3
分解成(2a-1)(2b-1)=7
因為2a-1,2b-1皆為整數,所以(2a-1,2b-1)有下列四種可能
(2a-1,2b-1)=(7,1)、(-7,-1)、(1,7)、(-1,-7)
(a,b)=(4,1)、(-3,0)、(1,4)、(0,-3)分別代入(1)或(2)
得r=-1/3或1