由 一陣風 於 星期五 十月 07, 2005 3:32 pm
事實:[a,a+5] *(a,a+5) = a(a+5)且[b,b+5] *(b,b+5) = b(b+5)
而且(a,a+5)和(b,b+5)只可能等於1或5
case1.如果(a,a+5) = (b,b+5),則可知a(a+5) = b(b+5)
=> a^2 - b^2 + 5(a-b) = 0
=> (a-b)(a+b+5) = 0,因a>0,b>0,故a = b.
case2.(a,a+5)和(b,b+5)相異,在不失一般性的情形之下,
可令(a,a+5) = 1,(b,b+5) = 5.
所以我們有5a(a+5) = b(b+5),因此5整除右邊,而不管整除b或b+5都能得到
5同時整除b和b+5.故右式為25k的形式.
故5a(a+5) = 25k,a(a+5) = 5k,和剛剛的討論相同,必可得到5整除a.這和
(a,a+5) = 1矛盾.所以這種case不可能.
故由case1知必有a = b.